До того как Максименко стал футболистом, он и его брат Максим играли в волейбол, а во дворе играли в футбол. Его поставили в ворота, чтобы его не растоптали, ведь он был такой маленький. Позже мальчик во дворе посоветовал Максименко записаться в секцию.
Начал заниматься футболом в 9 лет в ростовской секции «Локомотив», на первой тренировке пропустил 15-20 голов, а на следующих только два. Полтора года играл в чемпионате города, после чего был призван в Академию Виктора Понедельника, где провел следующие 5 лет. Первым тренером стал сербский специалист Александр Веселинович.
В 15 лет он получил приглашение посмотреть московскую академию «Спартак», которое успешно прошел. За два с половиной года в Академии «Спартака» Александр Максименко выиграл чемпионаты Москвы и России, а также Кубок РФС. В четвертьфинале чемпионата страны с товарищами по ЦСКА Александр реализовал два пенальти в серии буллитов, затем выручил свою команду в эффектном полуфинале с «Сатурном» и вывел ее на «Зенит». Петербургский «Спартак-98» также впервые победил и выиграл чемпионат России. В академии «Спартак» тренировался у Рината Дасаева.
С 2015 года начал играть в молодежной команде «Спартака», с которой дебютировал 2 августа в домашнем матче против «Рубина» (6-1). Всего в 2015-2017 годах провел 35 матчей, пропустив 29 мячей. В 2016 году перешел в «Спартак-2» и принял участие в Кубке ФНЛ 2016. В 2016 году впервые выступил за «Спартак-2» в ФНЛ в домашнем матче против «Тюмени». В сезоне 2016-2018 провел за 2-ю команду 24 матча, пропустив 38 мячей.
С 2015 года регулярно вызывается в молодежную сборную России (до 17 лет). Максименко футболист участвовал в чемпионате Европы (до 17 лет). Футболист отбил пенальти в четвертьфинале, и воодушевленная команда выбилась вперед и сразу же забила победный гол.
В сентябре 2017 года Максименко вратарь вошел в расширенный состав молодежной сборной России на отборочные матчи Евро-2019.
16 августа 2021 года впервые принял участие в основном составе сборной России для подготовки к матчам отборочного турнира ЧМ.