Андрей Мостовой родился 5 ноября 1997 года в Омске. Ученик московского футбола, полузащитник провел два с половиной года до окончания «Локомотива».
В сезонах 2014/15 и 2015/16 провел 20 матчей в молодежном первенстве и забил два гола. В 2015 году выступал за молодежную команду «Железнодорожники», после чего перешел в команду ПФЛ из подмосковного Долгопрудного, а затем выступал за «Химки».
Дебютировал в профессионалах 10 апреля 2016 года в выездном матче против клуба «Знамя Труда» и через четыре минуты открыл счёт. По окончании сезона перешел в клуб ФНЛ «Химки» и провел два сезона в чемпионате в 83 матчах, забив четыре мяча. В августе 2017 г сообщалось об интересе к Мостовому со стороны испанской «Марбельи». 28 ноября 2017 года играл за команду ФНЛ против итальянской команды Серии В (2:2).
В феврале 2019 года Мостовой перешел в «Зенит». До конца сезона выступал в загородном клубе «Зенит-2», забил пять мячей в 13 играх чемпионата ФНЛ. В преддверии сезона 2019/20 он был отдан в аренду сроком на один год новичку Премьер-лиги «Сочи». Дебютировал в чемпионате России 27 июля 2019 года в выездном матче против «Краснодара», проиграв со счётом 0:3.
В сезоне 2019/20 полузащитник провел 26 матчей, в которых забил 6 голов и отдал 6 результативных передач. В июле 2020 года Мостовой вернулся в «Зенит» и дебютировал за первую команду в победе «бело-голубых» за Суперкубок России над «Локомотивом».
Летом 2020 года Мостовой вернулся в «Зенит» и дебютировал за клуб 7 августа в матче за Суперкубок России против «Локомотива». 14 сентября 2020 года забил первый гол «Зенита», поразив ворота тульского «Арсенала».
25 августа 2020 года Мостовой впервые был вызван в сборную России на матчи Лиги наций 2020/2021 против Сербии и Венгрии, но на поле не появился. Дебютировал за сборную 8 октября 2020 года в товарищеском матче против Швеции.
В настоящее время Андрей Мостовой — игрок Зенита, который является одной из самых стабильных команд. Как будет развиваться его карьера дальше, узнаем в ближайшее время.