Футболом Артем Ребров начал заниматься в ДЮСШ «Красный Октябрь». Его первым тренером был Владимир Климов. Он мог бы попасть в «Сатурн» в 1997 году, но московской команде не удалось добиться для Реброва отсрочки от армии. Уже на тот момент у молодого человека были проблемы со связками в коленях. В 2003 году он перешел в московское «Динамо». В общей сложности он провел 33 матча в турнире резервных команд, в которых забил 32 гола.
Сатурн
В 2005 году Артем Ребров вратарь стал участником «Сатурна», но из-за постоянных проблем с коленом долгое время не мог выйти в стартовом составе. В 2006 году Ребров даже подумывал о завершении футбольной карьеры и в течение трех месяцев работал на отца в энергетической отрасли — сначала доставлял документы, а затем составлял сметы. Однако генеральный директор «Сатурна» Борис Жиганов и спортивный директор Владимир Пильгуй настойчиво просили Реброва вернуться в команду, обещая, что если он не вернется в футбол, то они найдут для него место в клубе.
В 2007 году он играл на правах аренды в курском «Авангарде». Дебютировал за клуб 15 сентября 2007 года в матче 34-го тура Первого дивизиона против «КАМАЗа». Он провел в клубе семь игр, в которых забил 12 голов. После окончания срока аренды он вернулся в «Сатурн», где начал играть за клуб «Сатурн-2» во Втором дивизионе. 30 августа 2008 года он был отдан в аренду до конца сезона 2008 года в «Томь», выступавшую в Премьер-лиге.
Сезон 2009 года он начал в молодежной лиге, дебютировав 11 апреля 2009 года в матче 4-го тура против нальчикского «Спартака». 29 мая 2009 года он дебютировал за «Сатурн» в выездном матче 11-го тура чемпионата России против «Амкара». Свой второй матч за клуб он провел 2 мая 2010 года против «Зенита» из Санкт-Петербурга, в котором получил красную карточку на 25-й минуте за игру руками за пределами штрафной площади. Всего за «Сатурн» он провел 10 матчей во всех соревнованиях, в которых забил 8 голов.
Шинник
13 января 2011 года Ребров вратарь перешел в «Шинник». Свой первый матч в Премьер-лиге он провел 4 апреля 2011 года в матче 1-го тура против «Химок». Всего за «Шинник» он провел 23 матча, в которых забил 26 голов. Он привлек внимание московского «Спартака» своей игрой в качестве основного вратаря.
Спартак
23 августа 2011 года он перешел в клуб по приглашению тренера вратарей московского «Спартака» Валерия Клеймонова. В своей новой команде он решил играть под номером 32. Свой первый матч в чемпионате России он провел 31 марта 2012 года в домашнем матче 37-го тура против «Зенита» из Санкт-Петербурга, заменив на 66-й минуте травмированного Андрея Диканя. В весенней части промежуточного чемпионата 2011/12 он провел 8 матчей, в которых забил 8 голов.
18 ноября 2012 года он получил неприятную травму плеча (частичное повреждение капсулы плеча), которая не позволила ему закончить сезон. В марте 2013 года произошел рецидив повреждения передней крестообразной связки колена, и Реброву была проведена операция в немецкой клинике. В начале сентября он продолжил тренировки в полноценном варианте.
Сезон 2014/15 он начал в качестве основного вратаря и капитана. Он также получил вызов в сборную России. В сезоне 2014/15 он провел за «Спартак» 29 матчей, в которых забил 39 голов и не пропускал в восьми матчах.
22 июня 2015 года Ребров был назван вратарем года по версии журнала «Огонек». Спартак» начал сезон 2015/16 с домашнего матча против «Уфы», в котором команда сыграла вничью 2:2. Однако в следующих трех матчах против «Краснодара», «Рубина» и «Крыльев Советов» им не удалось забить. В сезоне 2015/16 он провел в общей сложности 26 матчей, в которых забил 35 голов, а также восемь раз выходил на поле.
Перед началом сезона 2016/17 он был избран вице-капитаном команды. Он начал сезон в качестве основного вратаря клуба. В сезоне 2016/17 он провел 30 матчей во всех соревнованиях, забив 26 голов. В том сезоне он сыграл 14 игр, что стало лучшим показателем в его карьере. В том сезоне он и его команда стали чемпионами. Сезон 2016/17 стал для Реброва последним полным сезоном в составе «Спартака».
В лиге он принял участие в 9 сражениях, в которых забил 14 голов. В Лиге чемпионов он принял участие в 2 матчах: против «Марибора» и «Ливерпуля», в последнем он был травмирован и заменен.
Сезон 2018/19 он начал на скамейке запасных, так как тренер «Спартака» Массимо Каррера сделал предложение по третьему 20-летнему вратарю команды Александру Максименко. В ноябре-декабре 2018 года Ребров стал появляться в стартовом составе, но это продлилось всего три игры, и в итоге он снова уступил место Александру Максименко. В сезоне 2018/19 он провел в общей сложности шесть матчей, в которых забил шесть голов, а в двух матчах отметился нулем. В сезоне 2019/20 он выступал в качестве запасного вратаря вместе с Александром Селиховым.
31 октября 2021 года он завершил свою игровую карьеру и занял должность технического координатора. Одна из его функций — помогать в общении между командой, тренерским штабом и руководством клуба. 7 ноября он в последний раз был включен в состав на матч против «Локомотива». Всего за «Спартак» он провел 131 матч во всех соревнованиях, в которых забил 152 гола и 47 раз стоял в воротах.